O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0. Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero. Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3). Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: P(3) = R 32 + 3 * 3 – 10 = R 9 + 9 – 10 = R 18 – 10 = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8. Exemplo 2 Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1. Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0. P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2 P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 P(1) = 3 – 4 P(1) = – 1 Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1. Exemplo 3 Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6. Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6 P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6 16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6 – 8m = 6 – 38 + 3 – 8m = 9 – 38 – 8m = – 29 m = 29/8 Exemplo 4 Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1. R = P(x) → R = P(– 1/2) R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7 R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7 R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc) R = –3/8 + 2/8 + 80/8 R = 79/8 3q3n25
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Fonte: Brasil Escola - /matematica/teorema-dalembert.htm