Fórmulas de transformação de soma em produto. 5r442g

As fórmulas de transformação de soma em produto ou fórmulas de prostaférese (transformação) são de grande utilidade na fatoração de expressões como sen x + sen y, cos x – cos y, sen x + cos x e outras. Para obtenção das transformações em produto, utilizaremos algumas fórmulas já conhecidas. 1. Fórmula de transformação para senos Partiremos das fórmulas do seno da soma e da diferença de dois arcos para encontrarmos uma expressão para sen x + sen y e para sen x – sen y. 6647h

Somando as duas expressões membro a membro, obtemos:

Subtraindo as duas expressões membro a membro, obtemos:

Fazendo x = a + b e y = a – b, teremos:

Segue que:

e

2. Fórmula de transformação para cossenos
Vamos determinar uma expressão para cos x + cos y e para cos x – cos y.

Temos que:

Somando as duas igualdades, membro a membro, obtemos:

Subtraindo as duas igualdades, membro a membro, obtemos:

Fazendo x = a + b e y = a – b, obtemos:

E,

Exemplo 1. Transforme em produto a expressão S = sen 37^o + sen 23^o.
Solução: Temos que a = 37^o e b = 23^o. Logo,

Assim,

Exemplo 2. Fatore a expressão D = cos 5c – cos 3c.
Solução: Temos que a = 5c e b = 3c. Logo,

Assim,

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola