Pirâmide 612k37
Pirâmide é uma figura geométrica tridimensional que possui uma base formada por um polígono convexo, e todas as suas faces são triângulos. 69s3n
Pirâmides são figuras geométricas que aparecem com frequência, principalmente na arquitetura. As pirâmides são sólidos geométricos construídos no espaço com base em um polígono no plano e um ponto fora desse plano. Por tratar-se de uma figura tridimensional, é possível calcular o seu volume, além disso, podemos planificá-la e assim encontrar sua área. 62f1h
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O que é pirâmide? k4v44
Considere um polígono convexo contido em um plano e um ponto H que não pertence ao plano. Definimos a pirâmide como sendo a união de todos os vértices do polígono convexo no ponto H.
Elementos de uma pirâmide 5x4t4i
Considere a pirâmide a seguir.
• Base da pirâmide: polígono ABCDEF.
• Vértice da pirâmide: ponto H.
• Faces laterais: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF e FHA, que são os triângulos formados pela união do vértice da pirâmide com os vértices do polígono.
• Arestas da base: AB, BC, CD, DE, EF e FA, que são os lados da base.
• Arestas laterais: AH, BH, CH, DH, EH e FH, que são os segmentos das faces laterais.
• Altura da pirâmide: h, que é a distância entre o vértice da pirâmide e a base.
Vamos estabelecer as notações para alguns elementos:
• A área da base será denotada por Ab.
• A área de uma face lateral será representa por AF.
• O somatório das áreas das faces é chamado de área lateral, e essa é denotada por AL.
Assim, a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL) e é denotada por AT, ou seja:
AT = Ab + AL
Saiba mais: Tronco da pirâmide: saiba o que é e como calcular sua área
Tipos de pirâmides 341v2h
Do mesmo modo como nomeamos os prismas de acordo com o polígono da base, nomeamos também as pirâmides seguindo essa ideia. Por exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular, e assim sucessivamente.
As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As pirâmides retas são assim chamadas quando a projeção do vértice coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas. Veja os exemplos a seguir:
Se em uma pirâmide reta a base for um polígono regular, então a pirâmide será regular. Nesse tipo, a distância do vértice até o centro da base é a altura da pirâmide.
O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso GI. Já o segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da base, nesse caso HI.
Observe os triângulos GHI e GHF e note que eles são triângulos retângulos, logo, nele o teorema de Pitágoras é valido. Assim:
(GI)2 = (GH)2 + (HI)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Área da pirâmide 3l3553
A área da pirâmide é dada pela soma das áreas laterais e a área da base, isto é:
AT = Ab + AL
A não existência de uma fórmula específica dá-se pelo fato de pirâmides terem bases diferentes. Na expressão anterior, perceba que a área total AT depende do valor da área da base. Veja alguns exemplos.
• Exemplo 6d6m2t
Calcule a área total de uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado 10 m e a altura de uma face lateral é igual a 13 m.
Solução
Inicialmente desenharemos a pirâmide de acordo com os dados do exercício.
Note que podemos calcular a área da face com os dados fornecidos utilizando a fórmula da área do triângulo.
Como temos quatro faces, a área lateral é igual a 65 · 4 = 260 m2.
Agora, devemos calcular a área da base que é um quadrado, logo:
Portanto, a área da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base.
AT = Ab + AL
AT = 100 + 260
AT = 360 m2
Leia também: Área de figuras planas: saiba como calcular diversos tipos
Volume da pirâmide 4v6u22
Considere uma pirâmide de altura h.
O volume da pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base (Ab) e altura (h):
• Exemplo 6d6m2t
(Enem) Artur e Bernardo foram acampar e cada um levou uma barraca. Ambas têm a forma de uma pirâmide de base quadrada, com as arestas laterais congruentes. A barraca de Bernardo tem a altura e as arestas laterais 10% maiores em relação à de Artur. Assim, a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e Artur, nessa ordem, é:
a) 1,1
b) 1,21
c) 1,331
d) 1,4641
e) 1,5
Solução
Inicialmente, calcularemos o volume da barraca de Artur, aqui denotada por VA. Como a base da pirâmide é um quadrado, sua área é a medida do lado ao quadrado, vamos representá-la por L2.
Agora vamos determinar o volume da barraca de Bernardo, representada por VB. Antes note que a altura e as arestas são 10% maiores em relação à barraca de Artur, logo, temos que:
hB = h + 10% de h
hB = h + 0,1 · h
hB = 1,1 · h
Do mesmo modo para a área da base:
AB = (1,1)2 · L2
Logo, a área da barraca de Bernardo é:
Como o objetivo do exercício é encontrar a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e de Artur, temos que:
Perceba que podemos “cortar” a fração L2 · h sobre 3, pois representa o mesmo número.
Alternativa C
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
Fonte: Brasil Escola - /matematica/piramides.htm