Área do cone

A área do cone é a medida da superfície desse sólido geométrico. Como o cone é formado por uma base circular e uma região lateral curva, sua área será a soma das áreas dessas duas regiões, chamadas, respectivamente, de área da base e área lateral.

Leia também: Como calcular o tronco de um cone

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre a área do cone
• 2 - Videoaula sobre a área do cone
• 3 - Planificação do cone
• 4 - Qual a fórmula da área do cone?
• 5 - Como se calcula a área do cone?
• 6 - Exercícios resolvidos sobre a área do cone

Resumo sobre a área do cone

• A medida da superfície do cone é a área desse corpo redondo.
• A superfície do cone é constituída por duas partes: a base e a lateral.
• Se r  é o raio da base do cone, então a área da base é dada por

$A_b=πr^2$

• Se g  é a geratriz do cone, então a área lateral é dada por

$A_l=πrg$

• A área total do cone é dada por

 $A_t=πr^2+πrg=πr(r+g)$

Videoaula sobre a área do cone

Planificação do cone

O cone é um corpo redondo formado por uma base circular e uma lateral curva (semelhante a um funil ou chapéu de aniversário). Assim, sua planificação é composta por duas partes: um círculo e setor circular.

A imagem abaixo apresenta o processo de planificação de um cone circular reto (no qual o segmento VO é perpendicular ao plano da base). À esquerda, temos um cone de altura h, raio da base r  e geratriz g. À direita temos a planificação desse cone. Perceba que a base formou um círculo de raio r,  e a lateral formou um setor circular de raio g e comprimento de arco 2πr  (que é o comprimento do círculo da base).

Qual a fórmula da área do cone?

Pela planificação do cone circular reto, concluímos que sua área é a soma da área da base e da área lateral.

A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r . Portanto, a área da base Ab  de um cone é dada por

$A_b=πr^2$

Já a área lateral Al  é a área de um setor circular de raio g  e comprimento de arco 2πr . Como a área do setor é proporcional à área do círculo completo, podemos relacionar as respectivas áreas com os comprimentos dos arcos:

$\frac{πg^2}{A_l } \frac{2πg}{2πr }$

$A_l=πrg$

Logo, a fórmula da área do cone At  é dada por

$A_t=A_b+A_l$

$A_t=πr^2+πrg$

$A_t=πr(r+g)$

Como se calcula a área do cone?

Para calcular a área de um cone circular reto, basta substituir os dados do raio r  e da geratriz g .

Uma relação importante entre os segmentos do raio r, da altura h e da geratriz g nesse tipo de cone é que os três formam um triângulo retângulo. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos que

$g^2=h^2+r^2$

Essa informação é muito útil caso a altura do cone seja conhecida mas a geratriz ou o raio não sejam conhecidos.

• Exemplo: Determine a área de um cone circular reto com 3 cm de raio da base e 4 cm de altura.

Para calcular a área desse cone precisamos da geratriz:

$g^2=h^2+r^2$

$g^2=4^2+3^2$

$g=√25=5cm$

Logo,

$A_t=πr(r+g)$

$A_t=π⋅3(3+5)$

$A_t=24π cm²$

Leia também: Como calcular o volume do cone

Exercícios resolvidos sobre a área do cone

Questão 1

(UFPI) Se 8π  cm² é a área lateral de um cone circular reto cujo raio da base é 2 cm, então a altura desse cone, em cm, é:

a) $√2.$

b) $√3.$

c) $√6.$

d) $2√2.$

e) $2√3.$

Resolução

Como a área lateral é 8π cm² e r = 2  cm, então g = 4  cm, pois

$A_l=πrg$

$8π= π⋅2⋅g$

$g=4$

Portanto,

$g^2=h^2+r^2$

$4^2=h^2+2^2$

$h^2=12$

$h=2√3$

Alternativa E.

Questão 2

(Unifor-CE – adaptado) Em um cone reto, a área da base é $9π cm²$ e a geratriz mede $3√10 cm$. A área desse cone, em centímetros quadrados, é

a) $9π(1+√10)$

b) $3π(1+√10)$

c) $3π(1+√3)$

d) $9π(1+√3)$

e) $10π(1+√3)$

Resolução

Como a área da base é 9π  cm², então r=3  cm, pois

$A_b=πr^2$

$9π=πr^2$

$r^2=9$

$r=3$

Assim,

$A_t=πr(r+g)$

$A_t=π⋅3(3+3√10)$

$A_t=9π+9π√10$

$A_t=9π(1+√10)$

Alternativa A.

Fontes:

DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016. v.3.

DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7 ed. Santos: Atual, 2013.