Poliedros

Poliedros são figuras geométricas tridimensionais formadas por faces, vértices e arestas. O teorema de Euler estabelece uma relação entre esses elementos.

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Poliedros (do latim poli — muitos — e edro — face) são figuras tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, na qual os ângulos poliédricos são todos congruentes. A união desses polígonos forma elementos que compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e faces. No entanto, nem toda figura tridimensional é um poliedro, um exemplo disso são as figuras que possuem faces curvas chamadas de corpos redondos.

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Existe uma fórmula matemática que relaciona os elementos de um poliedro chamada relação de Euler. Além disso, os poliedros dividem-se em dois grupos: os chamados poliedros convexos e os não convexos. Alguns poliedros merecem uma atenção especial, são os chamados poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Tópicos deste artigo

Poliedros convexos

Um poliedro será convexo quando for formado por polígonos convexos, de forma que as condições a seguir sejam aceitas:

  1. Dois dos polígonos nunca são coplanares, ou seja, não pertencem ao mesmo plano.
  2. Cada lado de um desses polígonos pertence a apenas dois polígonos.
  3. O plano que contém qualquer um desses polígonos deixa os demais polígonos no mesmo semiespaço.

Leia também: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Elementos de um poliedro convexo

Considere este poliedro convexo:

Os quadriláteros na figura são chamados de faces do poliedro.

Os pentágonos são as faces e a base do poliedro, que recebe o nome de poliedro de base pentagonal.

Os segmentos que formam cada uma das faces são denominados arestas do poliedro.

Os pontos em que as arestas encontram-se são denominados vértices.

O segmento de reta JC será denominado diagonal do poliedro, denotada por:

JC é uma das diagonais, entendemos diagonal do poliedro como sendo o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face.

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Temos também o ângulo poliédrico, formado entre as arestas, denotado por:

Um ângulo poliédrico é chamado de triédrico quando três arestas têm origem em um vértice. Da mesma forma, é chamado de tetraédrico, caso quatro arestas tenham origem em um vértice, e assim por diante.

Daqui em diante, estabeleceremos algumas notações, são elas:

Saiba mais: Planificação de sólidos geométricos

Propriedades de um poliedro convexo

  • Propriedade 1

A soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas do poliedro.

Exemplo

Um poliedro tem 6 faces quadradas. Vamos determinar a quantidade de arestas.

De acordo com a propriedade, basta multiplicar o número de arestas de uma face pela quantidade de faces, e isso é igual ao dobro do número de arestas. Dessa forma:

  • Propriedade 2

A soma dos vértices de todas as faces é igual à soma das arestas de todas as faces, que é igual ao dobro do número de arestas.

Exemplo

Um poliedro com 5 ângulos tetraédricos e 4 ângulos hexaédricos. Vamos determinar a quantidade de arestas.

De maneira análoga ao exemplo anterior, a segunda propriedade diz que a soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas. O número de arestas é dado pelo produto de 5 por 4 e 4 por 6, pois são 5 ângulos tetraédricos e 4 hexaédricos. Assim:

Poliedros côncavos (não convexos)

Um poliedro é não convexo, ou côncavo, quando tomamos dois pontos em faces distintas e a reta r que contém esses pontos não fica toda contida no poliedro.

Perceba que a reta (em azul) não está por completa no poliedro, assim o poliedro (em rosa) é côncavo ou não convexo.

Poliedros regulares

Dizemos que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares iguais entre si e com os ângulos poliédricos todos iguais.

Veja alguns exemplos:

Perceba que todas as suas faces são polígonos regulares. Suas faces são formadas por quadrados e as arestas são todas congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Leia também: O que são polígonos regulares e convexos?

Relação de Euler

Também conhecido como teorema de Euler, o resultado foi provado por Leonhard Euler (1707 - 1783) e garante que em todo poliedro convexo fechado é válida a seguinte relação:

Poliedros de Platão

É chamado de poliedro de Platão todo poliedro que satisfaz as condições seguintes:

  1. É valida a relação de Euler

  2. Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas

  3. Todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas

É provado que existem somente cinco poliedros regulares e convexos, ou poliedros de Platão, são eles:

  • Tetraedro regular

O tetraedro possui 4 faces triangulares congruentes e 4 ângulos triédricos congruentes.

  • Hexaedro regular

O hexaedro possui 6 faces quadrangulares congruentes e 8 ângulos triédricos congruentes.

  • Octaedro regular

O octaedro possui 8 faces triangulares congruentes e 6 ângulos tetraédricos congruentes.

  • Dodecaedro regular

O dodecaedro possui 12 faces pentagonais congruentes e 20 ângulos triédricos congruentes.

  • Icosaedro regular

O icosaedro possui 20 faces triangulares congruentes e 12 ângulos pentaédricos congruentes.

Exercícios resolvidos

1) (Enem) Uma joia foi lapidada na forma de um poliedro convexo de 32 faces, sendo que 20 dessas são hexaedros e as restantes são pentagonais. Essa joia será um presente para uma senhora que está fazendo aniversário, completando uma idade cujo número é a quantidade de vértices desse poliedro. Essa senhora está completando:

a) 90 anos

b) 72 anos

c) 60 anos

d) 56 anos

e) 52 anos

Solução:

Da propriedade 1 de poliedros convexos sabemos que:

Agora, como conhecemos o número de arestas e o número de faces, podemos utilizar a relação de Euler.

Como a idade que a senhora está completando é igual ao número de vértices, então essa é de 60 anos. Alternativa c.

2) (PUC-SP) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é três quintos do número de faces?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Solução:

Das propriedades de um poliedro convexo e do enunciado do exercício temos que:

Substituindo esses valores na relação de Euler, teremos o seguinte:

Organizando a equação anterior e resolvendo a equação em F, segue que:

Substituindo o valor da quantidade de faces encontrado na equação das arestas, teremos:

Alternativa b

  

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Robson Luiz Escritor oficial Brasil Escola
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LUIZ, Robson. "Poliedros"; Brasil Escola. Disponível em: /matematica/poliedros.htm. o em 28 de maio de 2025.
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Lista de exercícios


Exercício 1

Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:

A) cubo.

B) dodecaedro.

C) tetraedro.

D) paralelepípedo.

E) icosaedro.

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Exercício 2

Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

A) 20.

B) 24.

C) 28.

D) 30.

E) 32.

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Exercício 3

(Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:

A) 33 vértices e 22 arestas.

B) 12 vértices e 11 arestas.

C) 22 vértices e 11 arestas.

D) 11 vértices e 22 arestas.

E) 12 vértices e 22 arestas.

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Exercício 4

Analise o sólido geométrico a seguir:

Podemos afirmar que:

(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.

(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.

(III) esse sólido geométrico é um poliedro.

Marque a alternativa correta.

A) Somente I é falsa

B) Somente II é falsa

C) Somente III é falsa

D) Somente I e II são falsas

E) Somente I e III são falsas

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