Trigonometria num triângulo qualquer

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As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)

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Lei dos senos

Resolvendo a situação da figura 1, temos:

Iremos aplicar a lei dos senos

Pela tabela de razões trigonométricas:

Lei dos cossenos

a² = b² + c² - 2*b*c*cosA
b² = a² + c² - 2*a*c*cosB
c² = a² + b² - 2*a*b*cosC

Exemplo

Analise o esquema abaixo:
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?

x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5
x² = 8900 – 4000
x² = 4900
x = 70 m

Seriam gastos 70 metros de cano.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria em um Triângulo qualquer

Lista de exercícios

Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.

Calcule o valor da medida x no triângulo representado pela seguinte figura:

(Unifor–CE)

Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado:

(FEI-SP)

Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 60º, determine a medida do lado AC.