Duas retas concorrentes formam quatro ângulos. Analisados dois a dois, é possível notar que esses ângulos ou estão lado a lado ou só possuem um único ponto em comum, que também é o ponto de encontro das duas retas. Quando dois ângulos possuem essa última característica, eles são chamados de ângulos opostos pelo vértice.
Os outros dois ângulos, que estão lado a lado, são chamados de ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice e ângulos adjacentes em retas concorrentes
Propriedades
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Ângulos adjacentes são suplementares;
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Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, possuem medidas iguais. Observe os ângulos a seguir:
Se α, β e θ são as medidas dos ângulos em questão, as somas α + β e β + θ são iguais a 180° porque os respectivos ângulos são adjacentes. Assim, podemos escrever:
α + β = 180 e β + θ = 180
A partir das duas igualdades acima, podemos escrever o seguinte:
180 = 180
α + β = β + θ
α = β – β + θ
α = θ
Logo, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Exemplos
1º) Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?
Solução:
Observe que o ângulo de 50° é oposto pelo vértice ao ângulo α, logo, α = 50°.
2º) Calcule a medida de cada ângulo na figura a seguir.
Solução:
Sabendo que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, basta observar a seguinte equação:
10x + 50 = 4x + 110
10x – 4x = 110 – 50
6x = 60
x = 60
6
x = 10
Para descobrir a medida de cada ângulo, basta substituir o valor de x em uma das expressões:
10x + 50 =
10·10 + 50 =
100 + 50 =
150°
Como os ângulos são opostos pelo vértice, o outro ângulo também mede 150°.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
