O que é proporção?

Quando duas razões possuem o mesmo resultado, dizemos que elas são proporcionais. Se essas razões representam medidas de alguma grandeza, também dizemos que elas são proporcionais.

Em outras palavras, essa igualdade significa que as variações que ocorrem em uma grandeza influenciam – ou são influenciadas – pelas variações da segunda.

Exemplo de proporção

Imagine que um automóvel move-se a 100 km/h e, em determinado intervalo de tempo, percorre uma distância de 200 km. Nesse exemplo, temos duas grandezas: velocidade e distância.

Essas grandezas, em um mesmo intervalo de tempo, são dependentes e influenciam-se, de modo que, caso o automóvel movimente-se a uma velocidade menor, não conseguirá percorrer a mesma distância. Aliás, é possível afirmar com certeza que, movimentando-se com a metade da velocidade, o automóvel percorrerá metade da distância e, por isso, naquele intervalo de tempo, alcançará 100 km.

A partir desse exemplo, pode-se escrever as razões:

2 = 200 = 100 = Velocidade
    100      50      distância

Formalização do conceito

Formalmente, uma proporção é uma igualdade entre razões. Geralmente essa igualdade é representada por frações, assim como no exemplo anterior. Então, dizemos que A, B, C e D são proporcionais se a afirmação abaixo for verdadeira:

A = C = L
B    D      

Na cadeia de igualdades acima, as duas frações são chamadas de proporção, e L é a constante de proporcionalidade. No caso do exemplo anterior, a constante de proporcionalidade é 2.

Como identificar grandezas proporcionais

Para identificar grandezas proporcionais, procure montar uma proporção entre elas. Se for possível, elas serão proporcionais; caso contrário, não.

Exemplo:

Se um automóvel percorre 80 km a uma velocidade de 40 km/h, então, percorrerá 160 km a uma velocidade de 80 km/h. Note que as razões entre velocidade e distância possuem o mesmo resultado:

40 =  80 = 1
80    160   2

Um bom exemplo para grandezas não proporcionais é a relação peso e altura. É evidente que uma grandeza não depende da outra, pois existem milhares de pessoas com determinada altura e pesos diferentes.

Grandezas diretamente proporcionais

Sempre que o aumento em uma grandeza resulta em aumento em outra grandeza proporcional a ela, dizemos que elas são diretamente proporcionais.

Imagine que uma empresa trabalhe com a montagem de mouses para computadores em várias linhas de montagem. Uma dessas linhas é responsável por colocar a roldana central, geralmente utilizada para rolagem da página ada.

Suponha que essa empresa possua 10 funcionários e que eles consigam montar 380 mouses por jornada de trabalho. Se a empresa dobrar o número de funcionários, ela também dobrará o número de mouses montados? Se a resposta for sim, então, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Sempre que o aumento de uma grandeza proporciona a redução de outra proporcional à primeira, dizemos que elas são inversamente proporcionais.

Imagine uma viagem feita a 50 km/h em 2 horas. Se dobrarmos a velocidade para 100 km/h, gastaremos metade do tempo, isto é, apenas 1 hora. Portanto, aumentando a grandeza “velocidade”, diminuímos a grandeza “tempo”.

Propriedade fundamental das proporções

Essa propriedade é resultado da aplicação de equações nas proporcionalidades. Imagine que a, b, c e d sejam medidas de duas grandezas proporcionais e respeitem a seguinte proporção:

a = c
b    d

Então, a igualdade acima também pode ser escrita da seguinte maneira:

ad = bc

Essa propriedade é conhecida da seguinte maneira: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Regra de três

A propriedade anterior é o que permite encontrar uma das medidas das grandezas a partir de outras três. Esse procedimento é conhecido como regra de três.

Por exemplo: Na empresa que monta mouses apresentada nos exemplos anteriores, 10 funcionários montam 380 mouses por jornada de trabalho. Se for necessário montar 1000 mouses, quantos funcionários deverão ser contratados, no mínimo?

Observe que o número de mouses produzidos dividido pelo número de funcionários precisa ser igual à mesma razão na segunda situação. Esta precisará ter o número de funcionários representado por alguma letra, já que não conhecemos esse número.

380 = 1000
10        x  

Utilizando a propriedade fundamental, teremos:

380x = 10·1000

380x = 10000

x = 10000
      380

x = 26,3

Como não é possível contratar 0,3 funcionários, sabemos que a empresa precisará de 27 para cumprir a nova meta. Portanto, serão necessários mais 17.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática